Импульсная характеристика: определение и свойства. Переходная и импульсная характеристика Характеристики импульсных устройств

Вы здесь: Восстановление

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых ис точников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет со

Переходной характеристикой g (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей незави симых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздейст вие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

реходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единич ного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимо сти или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого им пульса бесконечно большой высоты и конечной площади А И :

и .

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим

Импульсной характеристикой h (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей неза висимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздей ствие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

⁄ и .

Как следует из выражения (6.109), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (А И = 1). Размерность им пульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произве дению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, пере ходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздей ствием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и опера торной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик явля ется время t , а не угловая ω или комплексная р частота. Так как характеристики це пи, аргументом которых является время, называются временны́ми, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характери

стиками (см. модуль 1.5), то переходная и импульсная характеристики относятся к временны́м характеристикам цепи.

Каждой паре « внешнее воздействие на цепь - реакция цепи » можно поставить в соответствие определенную комплексную частотную

Для установления связи между этими характеристиками найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения

(6.108), (6.109), запишем



		Операторные изображения реакции цепи на внеш
ние воздействия. Выражая			через операторные изображения внешних
воздействий				Аи	; получаем

	0 операторные изображения переходной и импульсной характери
стик имеют особенно простой вид:
Таким образом, импульсная характеристика цепи						Это функция, изо

бражение которой по Лапласу, представляет собой операторную характеристику це

между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, им пульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапла са найти соответствующую операторную характеристику цепи

Используя выражения (6.110) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками:

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем, что переходная характери стика цепи g (t-t 0 ) численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции g (t-t 0 ) при t < t 0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ), а не g (t-t 0 ). За меняя в выражении (6.112) g (t-t 0 ) на g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ) и используя соотношение (6.104), получаем

Выражение (6.113) известно под названием формулы обобщенной производ ной . Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную пере ходной характеристики при t > t 0 , а второе слагаемое содержит произведение δ функции на значение переходной характеристики в точке t = t 0 . Если при t = t 0 функ ция g (t-t 0 ) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содер жит δ функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке t = t 0 . Если функция g (t-t 0 ) не претерпевает разрыва при t = t 0 , т. е. значение переход ной характеристики в точке t = t 0 равно нулю, то выражение для обобщенной произ водной совпадает с выражением для обычной производной.

Методы определения временных характеристик

Для определения временны́х характеристик линейной цепи в общем случае не обходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряже ния. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного метода анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характери стик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характери стиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с состав

операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.110) или (6.111), оп ределяют искомые временные характеристики.

щающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емко стей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при) действие приложенного к цепи внешне го воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии вы ключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных эле ментах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная харак теристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса то ка или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.

Пример6.7.Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2―2". Внешнее воздейст

вие на цепь ― напряжение на зажимах 1―1"		Реакция цепи ― напряжение на зажи

Операторная характеристика данной цепи, соответствующая заданной паре «внеш нее воздействие на цепь ― реакция цепи», была получена в примере 6.5:

х ⁄ .

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характери стик цепи имеют вид

⁄ ;

1 ⁄ 1 ⁄ .

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа см. приложение 1 , пере ходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам рис. 6.20, а, б:

Отметим, что выражение для импульсной характеристики цепи может быть полу чено и с помощью формулы 6.113 , примененной к выражению для переходной характери стики цепи g t .

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в данном включении рис. 6.20, а, б подсоединим к зажимам 1-1" независимый источник напряжения рис. 6.20, в. Переходная характеристика данной цепи численно рав на напряжению на зажимах 2-2" при воздействии на цепь единичного скачка напряжения

1 В и нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммута

ции сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t

на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1-1": u 2 |t 0

u 1| t 0

1 В. С течением вре

мени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при t

∞ . В соответст

вии с этим переходная характеристика начинается от значения g 0

1 и стремится к нулю

Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах 2 - 2"

при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения e t

Министерство образования и науки Украины

Донецкий Национальный Университет

Доклад

на тему: Радиотехнические цепи и сигналы

Студента 3 курса дневного отделения НФ-3

Разработал студент:

Александрович С. В.

Проверил преподаватель:

Долбещенков В. В.

ВВЕДЕНИЕ

"Радиотехнические цепи и сигналы" (РТЦ и С) – курс, являющийся продолжением курса "Основы теории цепей". Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Излагаемые в курсе "РТЦ и С" методы анализа сигналов и радиотехнических цепей используют математические и физические сведения, в основном известные студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса "РТЦ и С" – научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный встретившейся проблеме, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической стороной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов.

Основные разделы, изучаемые в курсе "Радиотехнические цепи и сигналы":

1. Временной анализ цепей на основе свертки;

2. Спектральный анализ сигналов;

3. Радиосигналы с амплитудной, угловой модуляцией;

4. Корреляционный анализ сигналов;

5. Активные линейные цепи;

6. Анализ прохождения сигналов через узкополосные цепи;

7. Отрицательная обратная связь в линейных цепях;

8. Синтез фильтров;

9. Нелинейные цепи и методы их анализа;

10. Цепи с переменными параметрами;

11. Принципы генерирования гармонических колебаний;

12. Принципы обработки сигналов дискретного времени;

13. Случайные сигналы;

14. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи;

15. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи;

16. Оптимальная фильтрация детерминированных сигналов в шумах;

17. Оптимальная фильтрация случайных сигналов;

18. Численные методы расчета линейных цепей.

ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СВЕРТКИ

Переходная и импульсная характеристика

В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (d-функции). Обозначается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t )определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульсной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи находится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).

Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t:

т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи.

Уравнение справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нулевые начальные условия для цепи). Если же g (0) ¹ 0, то представив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода состоит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи или операторным методом.

Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изображение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для RС -цепи имеем:

Применив к Y (p ) теорему разложения, получим:

В табл. 1.1 сведены значения переходной и импульсных характеристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

Расчет отклика цепи во многих случаях может быть упрощен, если входной сигнал представить суммой элементарных воздействий в виде прямоугольных импульсов малой длительности. Для этого сначала рассмотрим связь между функциями и, изображенными на рис.5.8а,6, которые можно записать в виде:

Вторая функция является единичным импульсом, который рассмотрен нами в п.2.4. Как видно, функция является производной от функции, т.е. . Осуществим в этих функциях предельный переход при. При этом функция перейдет в единичную функцию, а функция в функцию. Тогда в силу равенства следует, что единичный импульс, или - функция является производной единичной функции.

Для линейной цепи отсюда заключаем, что ее отклик на единичный импульс, называемый импульсной характеристикой цепи, является производной переходной характеристики цепи, т.е. или

Размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, деленной на время.

Нахождение импульсной характеристики в большинстве случаев проще, чем нахождение переходной характеристики. Действительно, как показано в п. 2.4, спектральная функция единичного импульса, а поэтому для импульсной характеристики с помощью интеграла Фурье получаем выражение

Из этого выражения следует, что спектральная функция характеристики равна комплексному коэффициенту передачи цепи, т.е. или, пользуясь прямым преобразованием Фурье, запишем:

To есть импульсная характеристика цепи так же, как и переходная характеристика, определяется через коэффициент передачи, но для импульсной характеристики в большинстве случаев подынтегральное выражение в интеграле Фурье оказывается проще.

В качестве примера применим соотношение (5.14) для определения спектра импульсной характеристики интегрирующей цепи, переходная характеристика которой. Для импульсной характеристики получаем

Пользуясь здесь выражением (5.14), необходимо учесть, что переходная характеристика при тождественно равна нулю, и поэтому нижний предел в интеграле выражения (5.14) будет нуль. Тогда спектральная функция импульсной характеристики равна

т.е. получили коэффициент передачи интегрирующей цепи, соответствующий ранее полученному выражению (3.16).

Зная импульсную характеристику, можно найти отклик цепи на воздействие сигнала любой формы, либо предварительно найдя по соотношению (5.12) переходную характеристику, а затем воспользовавшись одним из выражений интеграла Дюамеля, либо непосредственно через функцию. В последнем случае входную функцию, т.е. воздействующий сигнал необходимо представить в виде суммы импульсов, как показано на рис. 5.9.

Такое представление функции будет точнее, если, т.е. если она представлена суммой бесконечно большого числа бесконечно малых по длительности импульсов, являющихся здесь элементарными воздействиями. Если бы элементарным воздействием был единичный импульс, площадь которого равна единице, то откликом цепи на такой импульс, появляющийся в момент времени, была бы импульсная характеристика. В рассматриваемом случае элементарный импульс имеет величину, равную мгновенному значению функции в момент и длительность, равную, т.е. его площадь равна. Тогда откликом на элементарное воздействие будет величина. Отклик цепи на воздействие, заданное функцией, будет суммой откликов на все элементарные воздействия, временное положение которых соответствует интервалу от 0 до, т.е.

Это выражение, являющееся еще одним видом записи интеграла Дюамеля, называется также сверткой функций. Оно по виду совпадает с оригиналом свертки изображений двух функций в формуле (4.21).

Импульсную характеристику цепи можно получить с помощью эксперимента, наблюдая отклик цепи (выходное напряжение) на электронном осциллографе. На вход цепи необходимо подать импульс весьма малой длительности. Для примера рассмотрим импульсную характеристику последовательного колебательного контура, считая, что выходное напряжение снимается с емкости С. Выше в п.1.6 мы рассмотрели переходный процесс при включении постоянного напряжения на такой контур. Если величина поданного напряжения равна единице, то напряжение на емкости, являющееся переходной характеристикой цепи равно, согласно (1.33),

Эта переходная характеристика представлена на рис.5.10а. Тогда импульсная характеристика контура

Считая добротность контура большой, полагаем и тогда первым членом можно пренебречь:

Эта характеристика представлена на рис.5.10б. Она соответствует осциллограмме свободных колебаний в контуре, рассмотренных нами в п.1.5.

Таким образом, для того чтобы экспериментально наблюдать импульсную характеристику контура, необходимо на вход контура подать импульс малой длительности, т.е. (как было пояснено в п.2.4) чтобы его длительность удовлетворяла условию.

Переходная характеристика используется при расчете реакции линейной электрической цепи, когда на ее вход подается импульс
произвольной формы. При этом входной импульс
аппроксимируют множеством ступенек и определяют реакцию цепи на каждую ступеньку, а затем находят интегральную цепи
, как сумму реакций на каждую составляющую входного импульса
.

Переходная характеристика или переходная функция
цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равной реакции цепи на единичный скачок напряжения или тока на ее входе, при нулевых начальных условиях (рис. 13.11);

другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на функцию
на входе.

Выражение переходной характеристики
зависит только от внутренней структуры и значения параметров элементов цепи.

Из определения переходной характеристики цепи следует, что при входном воздействии
реакция цепи
(рис. 13.11).

Пример. Пусть цепь подключается к источнику постоянного напряжения
. Тогда входное воздействие будет иметь вид, реакция цепи – , а переходная характеристика цепи по напряжению –
. При

.

Умножение реакции цепи
на функцию
или
означает, что переходная функция
при
и
при
, что отражаетпринцип причинности в линейных электрических цепях, т.е. отклик (на выходе цепи) не может появиться раньше момента приложения сигнала к входу цепи.

Виды переходной характеристик.

Различают следующие виды переходной характеристики:

(13.5)	– переходная характеристика цепи по напряжению;
	– переходная характеристика цепи по току;
	– переходное сопротивление цепи, Ом;
	– переходная проводимость цепи, См,

где
– уровни входного ступенчатого сигнала.

Переходную функцию
для любого пассивного двухполюсника можно найти классическим или операторным методом.

Расчет переходной характеристики классическим методом. Пример.

Пример. Рассчитаем переходную характеристику по напряжению для цепи (рис. 13.12, а ) с параметрами .

Решение

Воспользуемся результатом, полученном в п.11.4. Согласно выражению (11.20) напряжение на индуктивности

где
.

Проведем масштабирование согласно выражению (13.5) и построение функции
(рис. 13.12,б ):

Расчет переходной характеристики операторным методом

Комплексная схема замещения исходной цепи примет вид на рис. 13.13.

Передаточная функция этой цепи по напряжению:

где
.

При
, т.е. при
, изображение
, а изображение напряжения на катушке
.

В этом случае оригинал
изображения
есть переходная функция цепи по напряжению, т.е.

или в общем виде:

, (13.6)

т.е. переходная функция
цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции
, умноженной на изображение единичного скачка .

В рассматриваемом примере (см. рис. 13.12) передаточная функция по напряжению:

где
, а функция
имеет вид .

Примечание . Если на вход цепи подано напряжение
, то в формуле переходной функции
время необходимо заменить на выражение
. В рассмотренном примере запаздывающая передаточная функция по напряжению имеет вид:

Выводы

Переходная характеристика введена, в основном, по двум причинам.

1. Единичное ступенчатое воздействие
– скачкообразное, и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. переходную характеристику
.

2. При известной переходной характеристике
с помощью интеграла Дюамеля (см. далее пп.13.4, 13.5) можно определить реакцию системы или цепи при любой форме внешних воздействий.

Выбор редакции

Skype скачать бесплатно русская версия Где загрузить скайп

Skype (произносится скайп) — очень популярная в России система общения с видео трансляцией. Она одна из первых предоставила возможности...

Текстовый редактор (презентация)

Слайд 1Слайд 2Текстовый редакторТе́кстовый реда́ктор - самостоятельная компьютерная программа или компонент программного комплекса...

Компьютер долго выключается?

Всем привет. Если вы нажимаете кнопку Пуск – Завершение работы и после этого ждете ещё несколько секунд или даже минут, пока ваш...

Полезный объем флеш-накопителей: каков он?

Ни для кого не секрет, что в современном мире, одним из наиболее актуальных товаров является информация. А её, как и любой другой товар,...

Создаем и редактируем GIF файл

Я Вам предлагаю воспользоваться онлайн редактором, который называется «Ezgif.com », где можно не только изменять размер анимационных...

Конфиги на выбор в кс 16

Одним из преимуществ Контр-Страйка является то, что данную игру можно видоизменять самыми разными способами. Одним из самых популярных...

Обзор бесплатной версии MX Player Мх плеер для андроид тех данные

В наши дни многие смартфоны и планшеты имеют большой экран с прекрасным разрешением, что позволяет смотреть фильмы на девайсе не хуже,...

Как собрать прошивку в pac файл

У вас есть проблема с открытием.PAC-файлов? Мы собираем информацию о файловых форматах и можем рассказать для чего нужны файлы PAC....

Самые жирные биткоин краны

Алексей Русских С ростом популярности криптовалюты и технологии блокчейн возросло и число проектов, позволяющих зарабатывать...

Новое